"Bình phương chu kỳ quỹ đạo của hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip của hành tinh đó."

Kepler công bố định luật thứ ba vào năm 1619 thể hiện mối liên hệ giữa khoảng cách từ hành tinh đến Mặt Trời và chu kỳ quỹ đạo của nó. Bằng ký hiệu

P 2 ∝ a 3 , {\displaystyle P^{2}\propto a^{3},}

với P {\displaystyle P} là chu kỳ quỹ đạo của hành tinh và a {\displaystyle a} là bán trục lớn của quỹ đạo elip.

Hằng số tỷ lệ là

P p l a n e t 2 a p l a n e t 3 = P e a r t h 2 a e a r t h 3 = 1 y r 2 A U 3 {\displaystyle {\frac {P_{planet}^{2}}{a_{planet}^{3}}}={\frac {P_{earth}^{2}}{a_{earth}^{3}}}=1{\frac {\rm {yr^{2}}}{\rm {AU^{3}}}}}

cho năm thiên văn (yr), và đơn vị thiên văn (AU).

Kepler tìm ra định luật thứ ba trong nỗ lực lớn với quan điểm về một vũ trụ điều hòa tuân theo các định luật chính xác. Định luật này được công bố trong cuốn Harmonices Mundi (1619) và biểu diễn bằng các ký hiệu âm nhạc.[8]Và các nhà thiên văn thường gọi nó là định luật điều hòa.[9]

Bảng dữ liệu so sánh chu kỳ quỹ đạo và bán trục lớn của các hành tinh, và từ đó Kepler rút ra định luật thứ ba

Hành tinh	P {\displaystyle P}	a {\displaystyle a}	P 2 {\displaystyle P^{2}}	a 3 {\displaystyle a^{3}}	P 2 / a 3 {\displaystyle P^{2}/a^{3}}
Sao Thủy	0,241	0,387	0,058081	0,057960603	1,002077221
Sao Kim	0,615	0,723	0,378225	0,377933067	1,000772446
Trái Đất	1	1	1	1	1
Sao Hỏa	1,881	1,524	3,538161	3,539605824	0,999591812
Sao Mộc	11,863	5,203	140,730769	140,8515004	0,999142846
Sao Thổ	29,458	9,555	867,773764	872,3526289	0,994751131

P {\displaystyle P} = chu kỳ quỹ đạo và a {\displaystyle a} = bán kính quỹ đạo trung bình của hành tinh (so với Trái Đất)

Chứng minh định luật Kepler thứ ba

Ở mục định luật thứ hai đưa ra mối liên hệ π a b = P ⋅ 1 2 r 2 θ ˙ {\displaystyle \pi ab=P\cdot {\tfrac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}} và mô men động lượng của hành tinh là L = m r 2 θ ˙ {\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}} Thay vào công thức trên ta có: P = 2 m π a b L {\displaystyle P={\frac {2m\pi ab}{L}}} Bình phương hai vế P 2 = ( 2 m π a b ) 2 L 2 {\displaystyle P^{2}={\frac {(2m\pi ab)^{2}}{L^{2}}}} (1) Mặt khác trong chứng minh định luật thứ nhất ta có bán trục chuẩn p = L 2 G M m 2 {\displaystyle p={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}} và theo định nghĩa hình học của p p a = b 2 . {\displaystyle pa=b^{2}\,.} sử dụng hai mối liên hệ này thay vào công thức (1) ta có P 2 = 4 π 2 a 3 G M {\displaystyle P^{2}={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{GM}}} hay P 2 a 3 = 4 π 2 G M = c o n s t {\displaystyle {\frac {P^{2}}{a^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}=const} (khi m ≪ M {\displaystyle m\ll M} )